網際網路協定版本六協定標頭

何謂 hav？

hav(haversine) 是一種三角函數，其定義為正弦函數平方值的一半，即 hav(θ) = sin²(θ/2)。hav 函數在球面三角學中扮演著重要的角色，尤其是在計算兩點之間的大圓距離時。

hav 函數的歷史

hav 函數的起源可以追溯到古代印度的天文學和數學。印度數學家在計算天體位置時，使用一種叫做「吉瓦」(jya) 的三角函數，相當於現代的正弦函數。hav 函數則是由吉瓦函數衍生而來，用於簡化球面三角學的計算。

hav 函數的應用

hav 函數最主要的應用是在導航和大地測量學中，用於計算地球表面兩點之間的大圓距離。大圓距離是指通過地球球心的圓弧長度，是連接兩點的最短距離。

計算大圓距離

假設地球半徑為 R，兩點的經緯度分別為 (φ₁, λ₁) 和 (φ₂, λ₂)，則兩點之間的大圓距離 d 可以使用以下公式計算：

d = 2R arcsin(√(hav(φ₂ - φ₁) + cos(φ₁) cos(φ₂) hav(λ₂ - λ₁)))

其中：

φ₁, φ₂ 為兩點的緯度（以弧度表示）

λ₁, λ₂ 為兩點的經度（以弧度表示）

R 為地球半徑

其他應用

除了計算大圓距離之外，hav 函數還可以用於以下方面：

計算球面三角形的邊長和角度

解決航海和航空中的定位問題

在地圖投影和製圖學中應用

hav 函數的優點

與直接使用正弦函數相比，hav 函數在計算球面三角學問題時具有以下優點：

避免精度損失

當角度接近 0° 或 180° 時，正弦函數的值非常小，容易在計算過程中造成精度損失。而 hav 函數的值在 0° 到 180° 之間變化平緩，可以避免這種情況發生。

簡化計算

hav 函數的公式比正弦函數更簡潔，可以減少計算量，提高計算效率。

hav 函數的實例

假設要計算香港（緯度：22.3193° N，經度：114.1694° E）和東京（緯度：35.6895° N，經度：139.6917° E）之間的大圓距離。首先將經緯度轉換為弧度：

香港：φ₁ = 0.3908 rad，λ₁ = 1.9959 rad

東京：φ₂ = 0.6230 rad，λ₂ = 2.4391 rad

將這些值代入大圓距離公式：

d = 2 6371 km arcsin(√(hav(0.6230 - 0.3908) + cos(0.3908) cos(0.6230) hav(2.4391 - 1.9959)))

計算得到 d ≈ 2890 km，即香港到東京的大圓距離約為 2890 公里。

結論

hav 函數是一種在球面三角學中非常有用的工具，特別是在計算大圓距離時。它可以避免精度損失，簡化計算，並且在導航、大地測量學等領域有著廣泛的應用。